Étude de la convergence de la série

Monter que pour tout $x\geqslant1$ , $\ln(x)\leqslant x-1$ .
En déduire la nature de la série de terme général $u_n=\dfrac{\ln\left( n^n \right)}{n!}$

Correction
On peut montrer cette inégalité de plusieurs façons, avec divers outils, par exemple en utilisant la convexité de la fonction $\ln$ et le fait que

est l'équation de la tangente sa courbe en 1.

On peut aussi simplement éudier la fonction différence $d(x)=\ln x-(x-1)$ , dérivable sur $\R_+^*$ et dont la dérivée est $d'(x)=\dfrac1x-1=\dfrac{1-x}{x}$ .
Ainsi, pour $x\geqslant1$ , on a $d'(x)\leqslant0$ et

est décroissante, donc, pour tout $x\geqslant1$ , $d(x)\leqslantd(1)=0\iff \ln x\leqslant x-1$ .

Là aussi, on peut étudier la nature de la série de diverses façons (entre autres avec la règle de d'Alembert).
Néanmoins si on se laisse guider par l'énoncé, les termes

sont positifs et tels que

$u_n=\dfrac{\ln\left( n^n\right)}{n!}=\dfrac{n\ln n}{n!}=\dfrac{\ln n}{(n-1)!}$

puis, en utilisant la première inégalité,

$u_n\leqslant\dfrac{n-1}{(n-1)!}=\dfrac{1}{(n-2)!}$

qui est le terme général d'une série convergente. Ainsi, la série de terme général

est aussi convergente.

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