@ccueil Colles

Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles


On considère la série entière $\dsp\sum_{n\geq 0}\frac{n-1}{n!}x^n$.
Donner son rayon de convergence et l'exprimer en termes de fonctions usuelles.

Correction
Soir $u_n=\dfrac{n-1}{n!}$. On a $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\to0$ et donc le rayon de convergence de la série entière est $+\infty$.

Pour déterminer sa somme, on décompose la somme: pour tout $x\in\R$,
\[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{n\geq 0}\frac{n-1}{n!}x^n&=\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\\[.7em]
&\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x\cdot x^n}{n!}-e^x=(x-1)e^x\enar\]



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Tag:Séries entières

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