Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles
On considère la série entière 
.
Donner son rayon de convergence et l'exprimer en termes de fonctions usuelles.
. Donner son rayon de convergence et l'exprimer en termes de fonctions usuelles.
Correction
Soit
.
Puisque 
, la suite 
est bornée si 
et tend vers
si 
. Le rayon de convergence de la série est donc égal à 1.
Pour sommer la série entière, on décompose en éléments simples:
![\[\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE2_c/7.png)
ce qui donne
![\[\begin{array}{lcl}
\dsp\sum_{n\geq 0}\frac{n+2}{n+1}x^n&=&\dsp\sum_{n\geq 0}x^n+\sum_{n\geq 0}\frac{1}{n+1}x^n\\[.6em]
&=&\dfrac{1}{1-x}+\dfrac1x\dsp\sum_{n\geq 0}\frac{x^{n+1}}{n+1}\\[.6em]
&=&\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{\ln(1-x)}{x}.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE2_c/8.png)
Cacher la correction
Soit
.
Puisque , la suite est bornée si et tend vers
si . Le rayon de convergence de la série est donc égal à 1.
Pour sommer la série entière, on décompose en éléments simples:
ce qui donne
Cacher la correction
Tag:Séries entières
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