Expression explicite d'une suite récurrente
Soit la suite définie par
, et pour tout entier ,
.
Montrer que, pour tout entier , .
Montrer que, pour tout entier , .
Correction
On peut démontrer cette formule par récurrence sur .
Pour , et , ce qui montre que la formule est vraie aux rangs 0 et 1.
Soit un entier , et supposons que la formule soit vraie aux rangs et (on pourrait aussi supposer que la formule est vraie pour tout entier ), c'est-à-dire que et .
Au rang suivant on a alors
et la formule est encore vraie.
On a donc montré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier , .
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On peut démontrer cette formule par récurrence sur .
Pour , et , ce qui montre que la formule est vraie aux rangs 0 et 1.
Soit un entier , et supposons que la formule soit vraie aux rangs et (on pourrait aussi supposer que la formule est vraie pour tout entier ), c'est-à-dire que et .
Au rang suivant on a alors
et la formule est encore vraie.
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Tags:SuitesRécurrence
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