@ccueil Colles

Famille libre ?


À quelle condition sur le réel $a$, la famille $\left( e_1;e_2;e_3\rp$, avec
\[ e_1=(a;1;1)\ ,\ e_2=(1;a;1)\ ,\ e_3=(1;1;a)\]

est-elle une base de $\R^3$ ?

Correction
Le déterminant des 3 vecteurs est:
\[D(a)=\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\enar\right|\]

La famille est libre, donc une base, si et seulement si $D(a)\not=0$.
En ajjoutant les 3 colonnes dans la 1ère, on obtient,
\[D(a)=\left|\begin{array}{ccc}2+a&1&1\\2+a&a&1\\2+a&1&a\enar\right|
=(2+a)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\enar\right|\]

puis en soustrayant la 2ème colonne à la 1ère,
\[D(a)=(2+a)\left|\begin{array}{ccc}0&1&1\\1-a&a&1\\0&1&a\enar\right|
=-(2+a)(1-a)\left|\begin{array}{cc}1&1\\1&a\enar\right|
\]

et donc,
\[D(a)=-(2+a)(1-a)(a-1)=(2+a)(1-a)^2\]

Ainsi, la famille est une base si et seulement si $a\not=-2$ et $a\not=1$.

Cacher la correction


Tags:Espace vectorielDéterminants

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