Famille libre à compléter

On considère dans les vecteurs

1. Peut-on trouver un vecteur tel que soit libre? Si oui, construisez-en un.
2. Même question en remplaçant par .

Correction

1. On a . La famille est donc liée.
   Quel que soit le vecteur qu'on ajoute à cette famille, elle sera encore liée, puisqu'on aura toujours , combinaison linéaire dont les coefficients ne sont pas tous nuls.
2. La famille est libre.
   On peut essayer de compléter ce vecteur en utilisant la base canonique de , par exemple pour .
   On vérifie alors que la famille est libre.
   En effet, si , on a
   
   
   
   d'où et la famille est libre.

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