@ccueil Colles

Famille libre de polynômes de valuations distinctes


Montrer que toute famille de polynômes non nuls de valuation deux à deux distinctes est libre.

Correction
On considère une famille de $n$ polynômes $P_1$, $P_2$, … , $P_n$ de valuations respectives $v_1$, $v_2$, … , $v_n$.
Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les valuations croissantes: $v_1<v_2<\dots<v_n$.

Soit maintenant $\lambda_1$, $\lambda_2$, … , $\lambda_n$ tels que
\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]

Cette relation se réécrit
\[\lambda_1P_1=-\sum_{k=2}^n\lambda_iP_i\]

Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum $v_2$ et, si $\lambda_1\not=0$, $v_1=\text{Val}\left( \lambda_1P_1\rp<d_2$ ce qui est impossible. On a donc necéssairement $\lambda_1=0$.
Par une récurrence immédiate, on a alors ensuite successivement $\lambda_2=\lambda_3=\dots=\lambda_n=0$, ce qui montre que la famille est libre.

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Tags:Espace vectorielPolynôme

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