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File d'attente à un guichet


Dans un bureau de poste, il y a deux guichets. Chacune des personnes arrivant à la poste choisit le premier guichet avec une probabilité $p$, ou le deuxième guichet avec une probabilité $q=1-p$. Les personnes effectuent leur choix de façon indépendante. En une heure, le nombre $X$ de personnes arrivés à la poste suit une loi de Poisson $\mathcal{P}(m)$. On désigne par $Y$ le nombre de personnes ayant choisi le premier guichet.
  1. Exprimer la probabilité conditionnelle de $Y=k$ sachant que $X=n$.
  2. En déduire la loi conjointe du couple $(X,Y)$.
  3. Déterminer la loi de $Y$. On trouvera que $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $mp$.

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Tag:Couples de variables aléatoires

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