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File d'attente à un guichet


Dans un bureau de poste, il y a deux guichets. Chacune des personnes arrivant à la poste choisit le premier guichet avec une probabilité $p$, ou le deuxième guichet avec une probabilité $q=1-p$. Les personnes effectuent leur choix de façon indépendante. En une heure, le nombre $X$ de personnes arrivés à la poste suit une loi de Poisson $\mathcal{P}(m)$. On désigne par $Y$ le nombre de personnes ayant choisi le premier guichet.
  1. Exprimer la probabilité conditionnelle de $Y=k$ sachant que $X=n$.
  2. En déduire la loi conjointe du couple $(X,Y)$.
  3. Déterminer la loi de $Y$. On trouvera que $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $mp$.

Correction
  1. Pour chaque personne, le choix du premier guichet se fait avec une probabilité $p$. Les choix sont indépendants les uns des autres, et $Y=k|X=n$ compte le nombre de "succès" lorsqu'on réalise $n$ fois l'épreuve. On reconnait le schéma théorique d'une variable aléatoire de loi binomiale. On a donc :
    \[P(Y=k|X=n)=\left\{
\begin{array}{ll}
\dsp\binom nk p^kq^{n-k}&\textrm{si $0\leq k\leq n$}\\[1.4em]
0&\text{si $k>n$.}
\end{array}\right.\]


  2. On a:
    \[\begin{array}{lcl}
P(Y=k,X=n)&=&P(X=n)P(Y=k|X=n)\\[.8em]
&=&\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle e^{-m}\frac{m^n}{n!}\binom nkp^kq^{n-k}&\textrm{si $k\leq n$}\\[1.4em]
0&\text{sinon.}\end{array}\right.
\enar\]


  3. On calcule, en prenant en compte du fait que les premiers termes sont nuls:
    \[\begin{array}{lcl}
P(Y=k)&=&\dsp\sum_{n=k}^{+\infty}P(Y=k,X=n)\\
&=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{(mq)^n}{(n-k)!}\\[1.4em]
&=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}(mq)^k\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{(mq)^{n-k}}{(n-k)!}\\[1.4em]
&=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}(mq)^k\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(mq)^{n}}{(n)!}\\[1.4em]
&=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}(mq)^ke^{mq}\\[1.4em]
&=&e^{-mp}\dfrac{(mp)^k}{k!}.
\enar\]




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Tag:Couples de variables aléatoires

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