@ccueil Colles

Fonction composée avec arcsin


Soit $f$ la fonction définie par l'expression $f(x)=\arcsin\lp\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\rp$.
  1. Donner l'ensemble de définition de $f$.
  2. Déterminer la fonction dérive $f'$ de $f$, et en déduire le sens de variation de $f$.

Correction
  1. $\arcsin$ est définie sur $[-1;1]$. Or, pour tout réel $x$, on a $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|$,
    et donc $\left|\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right|=\dfrac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}<1
\iff-1<\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}<1$, et $f$ est donc définie sur $\R$.
  2. On a $f=\arcsin(u)$ avec $u=\dfrac{v}{w}$, et $w=\sqrt{z}$, où $v(x)=x$, $w(x)=\sqrt{x^2+1}$, $z(x)=x^2+1$.
    Ainsi, $f'=u'\arcsin'(u)=\dfrac{v'w-vw'}{w^2}\tm\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}$,
    soit,
    \[\begin{array}{ll}
  f'(x)&=\dfrac{1\sqrt{x^2+1}-x\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}
  \tm\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{x^2+1}}}\\
  &=\dfrac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}
  \tm\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2+1}}}\\[3em]
  &=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\tm\sqrt{x^2+1}=\dfrac{1}{x^2+1}
  \enar\]

    On en déduit en particulier que $f'(x)>0$ sur $\R$, et donc que $f$ est strictement croissante sur $\R$.


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