🔍 Colles

Fonction de deux variables sur un domaine borné


Soit $f(x,y)=y^2-x^2y+x^2$ et $D=\biggl\{(x,y)\in\R^2;\ x^2-1\leq y\leq 1-x^2\biggr\}$. On note de plus $\Gamma$ le bord de $D$.
  1. Représenter $D$ et $\Gamma$.
  2. Déterminer les points critiques de $f$.
  3. Déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur $\Gamma$.
  4. En déduire le minimum et le maximum de $f$ sur $D$.

Correction
  1. Le domaine $D$ est délimité par les deux paraboles d'équation $y=1-x^2$ et $y=x^2-1$. Son bord $\Gamma$ comporte deux parties: la partie "haute", paramétrée par $y=1-x^2$, $-1\leq x\leq 1$, et la partie basse, paramétrée par $y=x^2-1$, $-1\leq x\leq 1$.
    \[\psset{unit=2cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\newcommand{\f}[1]{1 #1 2 exp sub}
\newcommand{\g}[1]{x 2 exp 1 sub}
\pscustom{
  \psplot{-1}{1}{\f{x}} \gsave
  \psplot{-1}{1}{\g{x}}
  \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  \grestore
}
\psline{->}(-1.2,0)(1.3,0)
\psline{->}(0,-1.2)(0,1.3)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{-1}{1}{\f{x}}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{-1}{1}{\g{x}}
\rput(.8,.7){\red$\Gamma$}
\end{pspicture}\]


  2. Pour déterminer les points critiques de $f$, on calcule d'abord les dérivées partielles du premier ordre. On trouve :
    $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-2xy+2x=2x(1-y)\textrm{ et }\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y-x^2.$$

    Un point $(x,y)$ est un point critique si $(x,y)=(0,0)$ ou si $(x,y)$ est solution du système
    \[\la\begin{array}{rcl}
1-y&=&0\\
2y&=&x^2.
\enar\right.\]

    On en déduit que $f$ admet trois points critiques qui sont $(0,0)$, $(-\sqrt 2,1)$ et $(\sqrt 2,1)$.
    $f$ admet donc un seul point critique dans $D$.
  3. Le bord $\Gamma$ est en deux parties, d'équations $y=1-x^2$ et $y=x^2-1$.
    On étudie donc les valeurs prises par $f$ sur ce bord, en posant $g(x)=f(x,1-x^2)$, pour $x\in[-1,1]$ et $h(x)=f(x,x^2-1)$ pour $x\in [-1,1]$.
    On obtient, après simplifications,
    \[\begin{array}{lcl}
g(x)&=&1-2x^2+2x^4\\
h(x)&=&1.
\enar\]

    Il suffit donc d'étudier $g$, et par parité, on peut se restreindre à l'étudier sur $[0,1]$. En calculant la dérivée, on voit facilement que $g$ est décroissante sur $[0,1/\sqrt 2]$ et est croissante sur $[1/\sqrt 2,1]$. De plus, $g(0)=g(1)=1$ et $g(1/\sqrt 2)=1/2$. On en déduit que le minimum de $f$ sur $\Gamma$ est $1/2$, et son maximum est $1$.
  4. Les extrema de $f$ sur $D$ sont ou bien atteints sur le bord, ou bien atteints en un extrémum local de $f$ situé dans $D$, donc en un point critique de $f$ dans $D$. Puisque $f(0,0)=0$, on en déduit que $f$ admet 0 comme minimum sur $D$, et $1$ comme maximum.


Cacher la correction


Tag:Fonctions de plusieurs variables

Autres sujets au hasard: Lancer de dés