@ccueil Colles

Fonction et sommes composées avec arctan


Montrer que, pour tout $x>0$, $\arctan\lp\dfrac{1}{2x^2}\right)
=\arctan\lp\dfrac{x}{x+1}\rp-\arctan\lp\dfrac{x-1}{x}\rp$.
En déduire une expression de $S_n=\dsp\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{1}{2k^2}\rp$ puis $\dsp\lim_{n\to+\infty}S_n$.

Correction
On pose, pour $x>0$, $f(x)=\arctan\lp\dfrac{1}{2x^2}\rp$ et $g(x)=\arctan\lp\dfrac{x}{x+1}\rp-\arctan\lp\dfrac{x-1}{x}\rp$.
$f$ et $g$ sont dérivables sur $\R_+^*$, avec
\[f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{x^3}}{1+\lp\dfrac{1}{2x^2}\rp^2}
=-\dfrac{-4x}{4x^4+1}\]

et
\[\begin{array}{ll}
g'(x)&=\dfrac{\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}}{1+\lp\dfrac{x}{x+1}\rp^2}
-\dfrac{\dfrac{x-(x-1)}{x^2}}{1+\lp\dfrac{x-1}{x}\rp^2}\\[2.8em]
&=\dfrac{1}{(x+1)^2+x^2}-\dfrac{1}{x^2+(x-1)^2}\\[1.4em]
&=\dfrac{-4x}{\lp2x^2+2x+1\rp\lp2x^2-2x+1\rp}
\enar\]

Or, $\lp2x^2+2x+1\rp\lp2x^2-2x+1\rp=
\Bigl(\lp2x^2+1\rp+2x\Bigr)\Bigl(\lp2x^2+1\rp-2x\Bigr)
=\lp2x^2+1\rp^2-\lp2x\rp^2
=4^2+1$.
On trouve ainsi que $f'(x)=g'(x)$ et donc que $f(x)=g(x)+k$, $k$ constante réelle.
De plus, par exemple pour $x=1$, $f(1)=\arctan\dfrac12$ et $g(1)=\arctan\dfrac12-\arctan0=\arctan\dfrac12=f(1)$.
Ainsi, $k=0$ et $f(x)=g(x)$ pour tout $x>0$.


\[\begin{array}{ll}
S_n&=\dsp\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{1}{2k^2}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
 -\arctan\lp\dfrac{k-1}{k}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
 -\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k-1}{k}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
 -\sum_{k=0}^{n-1}\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\arctan\lp\dfrac{n}{n+1}\rp-\arctan0
\enar\]

Ainsi, pour tout entier non nul $n$, $\displaystyle S_n=\arctan{n}{n+1}$, et comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}S_n=\dfrac\pi4$.

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