@ccueil Colles

Indice de nilpotence maximal dans un espace de dimension fini


Soit $f$ un endomorphisme non nul d'un espace de dimension fini $n$. On suppose $f$ nilpotent d'indice $p$, i.e. $f^{p-1}\not=0$ et $f^p=0$.
Montrer qu'il existe $x_0\in E$ tel que la famille $\left( x_0, f\left( x_0\rp, f^2\left( x_0\rp, \dots , f^{p-1}\left( x_0\rp\rp$ est libre.

En déduire que $f^n=0$.

Correction
Par définition, $f^{p-1}\not=0$ ce qui signifie justement qu'il existe $x_0\in E$ tel que $f^{p-1}\not=0$.
On considère alors une combinaison linéaire nulle: soit $\lambda_0$, $\lambda_1$, … , $\lambda_{p-1}$ tels que
\[\lambda_0x_0+\lambda_1f\left( x_0\rp+\lambda_2f^2\left( x_0\rp+\dots+\lambda_{p-1}f^{p-1}\left( x_0=0\]

Comme $f^p=0$, et donc aussi $f^k=0$ pour tout $k\geqslant p$, en appliquant $f^{p-1}$ à la combinaison précédente, on obtient $\lambda_0f^{p-1}\left( x_0\rp=0$.
Comme on a choisit $x_0$ tel que $f^{p-1}\left( x_0\rp\not=0$, on a donc nécessairement $\lambda_0=0$.

En appliquant de même $f^{p-2}$ à la combinaison, on obtient maintenant, avec $\lambda_0=0$, $\lambda_1f^{p-1}\left( x_0\rp=0$ et donc, de même que précédemment, $\lambda_1=0$.

En réitérant, on obtient donc successivement $\lambda_0=\lambda_1=\dots=\lambda_{p-1}=0$, ce qui montre que la famille $\left( x_0, f\left( x_0\rp, f^2\left( x_0\rp, \dots , f^{p-1}\left( x_0\rp\rp$ est libre.


Il s'agit ici de montrer que l'indice de nilpotence $p$ vérifie $p\leqslant n$.
Comme cette famille est libre dans un espace de dimension $n$, elle contient nécessairement moins de $n$ vecteurs. Comme elle est composée de $p$ vecteurs, on a donc $p\leqslant n$ et alors, comme on l'a remarqué précédemment, $f^k=0$ pour tout $k\geqslant p$; en particulier $f^n=0$.

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Tag:Espace vectoriel

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