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Intégrale avec bornes variables


Soit $f$ la fonction définie par $\displaystyle f(x)=\int_x^{2x}\dfrac1{t^2+3}\,dt$.
  1. Quel est le domaine de définition de $f$ ? $f$ est-elle paire ? impaire ?
  2. Étudier les variations de $f$. $f$ admet-elle une limite en l'infini ? si oui, laquelle ?

Correction
  1. Pour tout réel $t$, on a $t^2+3>0$, et $t\mapsto\dfrac1{t^2+3}$ est donc définie et continue sur $\R$, tout comme $f$.

    Pour tout réel $x$, on a
    \[f(-x)=\int_{-x}^{-2x}\dfrac1{t^2+3}dt\]

    soit aussi, en posant $u=-t$,
    \[f(-x)=-\int_{u}^{2u}\dfrac1{u^2+3}dt=-f(x)\]

    ce qui montre que $f$ est impaire.
  2. On pose
    \[F(x)=\int_0^x\dfrac1{t^2+3}dt\]

    alors $F$ est dérivable sur $\R$ avec $F'(x)=\dfrac1{x^2+3}$.
    On a alors aussi $f(x)=F(2x)-F(x)$ et donc $f'(x)=2F'(2x)-F'(x)$, soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=2\dfrac1{(2x)^2+3}-\dfrac1{x^2+3}\\
  &=\dfrac{-2x^2+3}{\lp4x^2+3\rp\lp x^2+3\rp}
  \enar\]

    Le dénominateur est toujours strictement positif, et le numérateur est du second degré, s'annulant en $\pm\sqrt{3/2}$.
    On trouve donc que $f$ est décroissante sur $\bigl]-\infty;-\sqrt{3/2}\bigr]$ et sur $\bigl[\sqrt{3/2};+\infty\bigl[$, et croissante sur $\bigl[-\sqrt{3/2};+\sqrt{3/2}\bigr]$.


    On sait donc que $f$ est décroissante sur $\bigl[\sqrt{3/2};+\infty\bigl[$; comme elle y est de plus positive, elle admet nécessairement une limite en $+\infty$.

    On a enfin, pour $x\geqslant0$ et comme $t\mapsto\dfrac1{t^2+3}$ est décroissante sur $\R_+$
    \[0\leqslant f(x)=\int_x^{2x}\dfrac1{t^2+3}dt
  \leqslant\dfrac{2x-x}{x^2+3}\]

    ce qui montre que $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.

    Par imparité, on a donc aussi $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$.


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