@ccueil Colles

Intégrale impropre avec une fonction bornée et changement de variable


Soit $f$ une fonction continue bornée sur $[0,+\infty[$.
  1. Démontrer que les intégrales $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{f(x)}{1+x^2}dx$ et $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{f(1/x)}{1+x^2}dx$ sont convergentes.
  2. Démontrer qu'elles sont égales.
  3. Pour $n\geq0$, calculer $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)(1+x^n)}$ et $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{x^n}{(1+x^2)(1+x^n)}dx.$

Correction
  1. $f$ est bornée, ce qui signifie qu'il existe $M\geqslant0$ tel que $|f(t)|\leq M$ pour tout $t\in\R_+$.
    La fonction $x\mapsto \frac{f(x)}{1+x^2}$ est de plus continue sur $[0,+\infty[$, et elle vérifie donc
    \[\left|\dfrac{f(x)}{1+x^2}\right|\leq\dfrac{M}{1+x^2}\]

    qui est intégrable au voisinage de $+\infty$. L'intégrale $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{f(x)}{1+x^2}dx$ est ainsi convergente. De même, $x\mapsto \dfrac{f(1/x)}{1+x^2}$ est continue sur $]0,+\infty[$ (mais pas forcément en 0 cette fois).
    Le problème en $+\infty$ se traite exactement comme précédemment, tandis qu'en 0, le quotient reste bornée même s'il n'est pas continu:
    \[\left|\frac{f(1/x)}{1+x^2}\right|\leq M\]

    et l'intégrale converge donc aussi en 0.
  2. Avec le changement de variables $u=1/x$, on trouve
    \[\int_0^{+\infty}\frac{f(x)}{1+x^2}dx
  =-\int_0^{+\infty}\frac{f(1/u)}{1+\frac{1}{u^2}}\frac{-1}{u^2}du
  =\int_0^{+\infty}\frac{f(1/x)}{1+x^2}dx
  \]

  3. On applique le résultat des questions précédentes avec $f(x)=\dfrac1{1+x^n}$, qui est bien continue et bornée sur $[0,+\infty[$. On trouve
    \[I=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)(1+x^n)}
  =\int_0^{+\infty}\frac{x^n}{(1+x^2)(1+x^n)}dx\]

    En effectuant la somme de ces deux intégrales, on trouve:
    \[2I=\int_0^{+\infty}\dfrac{1+x^n}{(1+x^2)(1+x^n)}dx
  =\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2\]

    On en déduit que ces deux intégrales sont à $\dfrac\pi4$.


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