@ccueil Colles

Intégrale impropre: convergence, calcul avec changement de variable


  1. Montrer que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt$ converge, puis, en utilisant le changement de variables $u=1/t$, montrer que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt=~0$.
  2. Soit $a\geqslant0$. Calculer $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}dt$.

Correction
  1. La fonction $t\mapsto \dfrac{\ln t}{a^2+t^2}$ est continue sur $]0,+\infty[$. Au voisinage de 0, on a l'équivalence
    \[\dfrac{\ln t}{a^2+t^2}\sim \frac{\ln t}{a^2}\]

    et on sait que $\ln t$ est intégrable en 0 (par exemple car $\ln t=o\lp1/\sqrt{t}\rp$ et que $t\mapsto1/\sqrt{t}$ est une intégrale de Riemann intégrable en 0, ou encore avec une primitive $t\mapsto t\ln t-t$ de $\ln t$). De même, au voisinage de $+\infty$, on a
    \[\dfrac{\ln t}{a^2+t^2}=o\left(\frac{1}{t^{3/2}}\right)\]

    On en déduit que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}$ est convergente. Le changement de variables $u=1/t$, qui est de classe $\mathcal{C}^1$ et strictement décroissant, donne ensuite
    \[\begin{array}{lcl}
  I&=&\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt\\[1.4em]
  &=&-\dsp\int_0^{+\infty}\frac{-\ln u}{1+\frac{1}{u^2}}\frac{-1}{u^2}du\\[1.4em]
  &=&-\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln u}{1+u^2}du=-I\enar\]

    On en déduit que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt=0$.
  2. On cherche bien sûr à se ramener à l'intégrale de la fonction précédente. Avec le changement de variables $t=au$, on obtient
    \[\begin{array}{l}
  \dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln t}{a^2+t^2}dt
  =\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln au}{a^2+a^2u^2}adu\\[1.5em]
  \dsp\qquad=\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln a}{a(1+u^2)}du
  +\int_0^{+\infty}\frac{\ln u}{a(1+u^2)}du.\enar\]

    De même que dans le calcul de la question précédente, et le fait qu'une primitive de $\dfrac{1}{1+u^2}$ est $\arctan u$, on arrive alors
    \[\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}dt=\frac{\pi\ln a}{2a}\]



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