@ccueil Colles

Limite d'un quotient de differences


Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0\in\R$.
Montrer que $\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}$ admet une limite lorsque $x\to x_0$.

Correction
Comme $f$ est dérivable en $x_0\in\R$, on sait que $\dsp\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-fx_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$.
De plus, en faisant apparaître ce quotient,
\[\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}
=\dfrac{x\Bigl( f(x_0)-f(x)\Bigr) +xf(x)-x_0f(x)}{x-x_0}
=-x\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+f(x)\]

et ainsi,
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}
=-x_0f'(x_0)+f(x_0)\]



Cacher la correction


Tag:Dérivée

Autres sujets au hasard: Lancer de dés