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Limite nulle et comparaison suite géométrique


  1. Donner la définition de $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=0$.
  2. Soit $(u_n)$ une suite qui vérifie, pour tout entier $n$, $\left|u_{n+1}\right|<\dfrac12\left|u_n\right|$. Montrer que $(u_n)$ tend vers 0.
  3. Soit $(v_n)$ une suite de réels non nuls vérifiant $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=0$. Prouver que $(v_n)$ converge vers 0.

Correction
  1. cf. cours... $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=0$
    siginifie que
    \[\forall\varepsilon>0,\exists N\in\N,\forall n\geqslant N, \left|u_n\right|<\varepsilon\]

  2. On a rapidement par récurrence que, pour tout entier $n$,
    \[\left|u_n\right|<\lp\dfrac12\rp^n\left|u_0\right|\]
    En effet, on a $\left|u_1\right|<\dfrac12\left|u_0\right|$, puis si on suppose, pour un certain entier $n$, que $\left|u_n\right|<\lp\dfrac12\rp^n\left|u_0\right|$, alors au rang suivant,
    \[\left|u_{n+1}\right|<\dfrac12\left|u_n\right|\]

    et donc, par hypothèse de récurrence,
    \[\left|u_{n+1}\right|<\dfrac12\,\lp\dfrac12\rp^n\left|u_0\right|\]

    ce qui montre que la propriété est héréditaire, et donc vraie pour tout entier $n$ d'après le principe de récurrence.

    Maintenant, comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$, on en déduit que
    \[\lim_{n\to+\infty}u_n=0\]

  3. Par définition de la limite nulle, on a donc
    \[\forall\varepsilon>0,\exists N\in\N,\forall n\geqslant N, \left|\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\right|<\varepsilon\]

    Ceci étant vrai pour tout $\varepsilon$, on peut choisir $\varepsilon=\dfrac12$, afin de pouvoir utiliser le résultat de la question précédente.
    Il existe alors un entier $N$ tel que, pour tout entier $n\geqslant N$, on a
    \[\left|\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\right|<\dfrac12
  \iff\left|v_{n+1}\right|<\dfrac12\left|v_n\right|\]

    Comme dans la question précédente, on prouve alors (par récurrence) que, pour tout entier $n\geqslant N$,

    \[\left|v_n\right|<\lp\dfrac12\rp^{n-N}\left|v_N\right|\]

    et, à nouveau comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^{n-N}=0$, on en déduit que $(v_n)$ tend vers 0.


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