@ccueil Colles

Logarithme d'une loi uniforme


Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1]$.
Démontrer que la variable aléatoire $X=-\ln U$ suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

Correction
On calcule la fonction de répartition de $X$. On a $X\leqslant x \iff U\geq \exp(-x)$, puisque la fonction $x\mapsto \exp(-x)$ est décroissante. On a donc
\[P(X\leqslant x)=P(U\geq \exp(-x))\]

Si $x\leqslant0$, alors $\exp(-x)\geqslant1$ et donc $P(X\leqslant x)=0$.
Si $x\geqslant 0$, alors $\exp(-x)\in[0,1]$ et donc, puisque $U$ suit une loi uniforme à valeurs dans $[0,1]$,
\[P(X\leqslant x)=1-\exp(-x)\]

et on reconnait la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre 1 (ou en dérivant pour retrouver la densité).

Cacher la correction


Tag:Variables aléatoires continues

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