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Logarithme, encadrements et convergence d'un produit


  1. Montrer que, pour tout $x>0$,
    \[x-\dfrac{x^2}2<\ln(1+x)<x\]

  2. En déduire la limite de la suite de terme général
    \[u_n=\dsp\prod_{k=1}^n\lp1+\dfrac{k}{n^2}\rp\]


Correction
  1. Ces deux inégalités peuvent se montrer en étudiant les fonctions $f:x\mapsto\ln(1+x)-x$ et $g:x\mapsto\ln(1+x)-\left( x-\dfrac{x^2}2\rp$.

    $f'(x)=\dfrac1{1+x}-1=\dfrac{-x}{1+x}<0$ pour $x>0$, donc $f$ est décroissante et alors, pour tout $x>0$, $f(x)<f(0)=0$, soit $\ln(1+x)<x$.

    $g'(x)=\dfrac1{1+x}-(1-x)=\dfrac{x^2}{1+x}>0$ et donc $g$ est croissante et pour tout $x>0$, $g(x)>g(0)=0$ soit aussi, pour $x>0$, $\ln(1+x)>x+\dfrac{x^2}2$.
  2. Le produit et la question précédente incitent à utiliser le logarithme et à poser $v_n=\ln u_n$, soit
    \[v_n=\sum_{k=1}^n\ln\lp1+\dfrac{k}{n^2}\rp\]

    D'après la question précédente, on a alors,
    \[\sum_{k=1}^n\lp\dfrac{k}{n^2}-\dfrac{k^2}{2n^4}\right)
  <v_n<\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n^2}\]

    On a de plus,
    \[\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n^2}=\dfrac1{n^2}\sum_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}{2n^2}
  =\dfrac{n+1}{2n}\]

    et
    \[\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{2n^4}
  =\dfrac{1}{2n^4}\sum_{k=1}^nk^2
  =\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{12n^4}\]

    d'où l'encadrement
    \[\dfrac{n+1}{2n}-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{12n^4}<v_n<\dfrac{n+1}{2n}\]

    Comme
    \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac12\]

    et
    \[\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{12n^4}\simeq\dfrac1{6n}\to0\]

    on obtient, d'après le théorème des gendarmes, que
    \[\lim_{n\to+\infty}v_n=\dfrac12\]

    et donc que
    \[\lim_{n\to+\infty}v_n=e^{1/2}=\sqrt{e}\]



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