@ccueil Colles

Loi géométrique est sans mémoire


Une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\N$ est dite sans mémoire si, pour tous $n,m\in\N$, $P(Y>n)>0$ et

\[P_{(Y>n)}(Y>n+m)=P(Y>m)\]

Montrer que si $Y$ suit une loi géométrique alors $Y$ est sans mémoire.
Interpréter ce résultat en considérant une suite d'épreuves répétées.

Correction
On a $P(Y=n)=p(1-p)^{n-1}$ et donc (c'est aussi du cours, mais il faut savoir le (re)démontrer)
\[\begin{array}{ll}
P(Y>n)&=\dsp\sum_{k>n}p(1-p)^{k-1}\\
&=p(1-p)^n\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}(1-p)^k\\
&=p(1-p)^n\dfrac1{1-(1-p)}\\[1em]
&=(1-p)^n\enar\]

et alors,
\[\begin{array}{ll}P_{(Y>n)}(Y>n+m)
&=\dfrac{P\Bigl( \left( Y>n+m\rp\cap\left( Y>n\rp\Bigr)}{P\left( Y>n\rp}\\[1.2em]
&=\dfrac{P\left( Y>n+m\right)}{P\left( Y>n\right)}\\[1.2em]
&=\dfrac{(1-p)^{n+m}}{(1-p)^n}\\[1em]
&=(1-p)^m\\[.8em]
&=P(Y>m)\enar\]

$P(Y=k)$ est la probabilité d'obtenir le premier succès au k-ième essai lors de la répétition d'épreuves de Bernoulli.
Cette propriété "sans mémoire" s'interprète alors par: après $n$ essais infructueux, la probabilité d'attendre $m$ essais suplémentaires pour obtenir le 1er succès (et donc d'obtenir le 1er succès au bout de $n+m$ essais), est la même que d'obtenir tout simplement le 1er succès après $m$ essais.
En d'autres termes, de savoir qu'après $n$ essais on n'a pas eu de succès n'apporte aucune information: on oublie tout simplement ces résultats et tout se psse comme si on repartait de 0.

Cacher la correction


Tag:Variables aléatoires discrètes

Autres sujets au hasard: Lancer de dés