@ccueil Colles

Matrice d'une application linéaire. Bijective ? Changement de base.


Soit $f:\la\begin{array}{ccl}\R^3&\to&\R^3 \\ (x,y,z)&\mapsto&(x-2y+z,y-z,2x-y-z)\enar\right.$
  1. Monter que $f$ est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique $\left( e_1,e_2,e_3\rp$ de $\R^3$.
  2. $f$ est-elle bijective ?
  3. Donner un vecteur $u\in\R^3$ non nul du noyau de $f$.
  4. Montrer que $\left( u,e_1,f\left( e_1\rp\rp$ est une base de $\R^3$.
    Donner alors la matrice de $f$ dans cette base.

Correction
Soit $f:\la\begin{array}{ccl}\R^3&\to&\R^3 \\ (x,y,z)&\mapsto&(x-2y+z,y-z,2x-y-z)\enar\right.$
  1. $f$ est clairement linéaire et sa matrice dans la base canonique de $\R^3$ est:
    \[\lb\begin{array}{rrr}1&-2&1 \\ 0&1&-1 \\ 2&-1&-1\enar\rb\]


  2. On calcule le déterminant de $f$. La somme des 3 colonnes donne le vecteur nul; ce déterminant est donc nul, et $f$ n'est pas bijective.
  3. Soit $u(x,,z)\in\R^3$, alors
    \[u\in\ker(f)
  \iff\la\begin{array}{rcl} x-2y+z&=&0 \\ y-z&=&0\\2x-y-z&=&0\enar\right.
  \iff x=y=z\]

    Ainsi, $u(1,1,1)\in\ker(f)$.
  4. On a $f(e_1)=e_1+2e_3$, et donc le déterminant de la famille $\left( u,e_1,f\left( e_1\rp\rp$ s'écrit dans la base canonique,
    \[\left|\begin{array}{rrr} 1&1&1 \\ 1&0&0 \\1&0&2 \enar\right|
  =-2\not=0\]

    Cette famille est donc libre, donc aussi une base de $\R^3$.

    On a directement, $f(u)=0$, et $f(e_1)=f(e_1)$ pour les images des deux premiers vecteurs de cette base, donc dans cette bse la matrice de $f$ s'écrit: $\lb\begin{array}{rrr} 0&0&\alpha \\ 0&0&\beta \\0&1&\gamma \enar\rb$.
    Il reste à déterminer $f\left( f(e_1)\rp=f(e_1+2e_3)=f(e_1)+2f(e_3)
  =e_1+2e_3+2(e_1-e_2-e_3)=3e_1-2e_2$.
    On cherche donc $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que
    \[f(f(e_1))=\lp\begin{array}{c}3\\-2\\0\enar\rp=\alpha u+\beta e_1+\gamma f(e_1)
  =\alpha\lp\begin{array}{c}1\\1\\1\enar\right)
  +\beta\lp\begin{array}{c}1\\0\\0\enar\right)
  +\gamma\lp\begin{array}{c}1\\0\\2\enar\rp\]

    On trouve facilement, d'abord (2ème ligne) $\alpha=-2$, puis (3ème ligne) $\beta=1$, et enfin $\gamma=4$. Ainsi, dans la base $\left( u,e_1,f(e_1)\rp$, la matrice de $f$ est $\lb\begin{array}{rrr} 0&0&-2 \\ 0&0&1 \\0&1&4 \enar\rb$.


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