@ccueil Colles

Matrice d'une projection orthogonale dans l'espace


Soit $E=\R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soit $p\in\mathcal L(E)$ dont la matrice dans la base canonique est
\[A=\frac 16\left(
\begin{array}{ccc}
5&-2&1\\
-2&2&2\\
1&2&5
\end{array}\right)\]

Montrer que $p$ est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera l'équation.
Déterminer la distance de $(1,1,1)$ à ce plan.

Correction
On commence par remarquer que $A^2=A$. Ainsi, $p$ est bien une projection. On va déterminer $\ker(p)$ et $\text{Im}(p)$. Il suffira ensuite de démontrer que ces deux sous-espaces sont orthogonaux pour pouvoir conclure. On remarque d'abord que $(x,y,z)\in \ker(p)$ si et seulement si
\[\begin{array}{lcl}
\la\begin{array}{rcl}
5x-2y+z&=&0\\
-2x+2y+2z&=&0\\
x+2y+5z&=&0\\
\enar\right. &\iff&
\la\begin{array}{rcl}
x+2y+5z&=&0\\
6y+12z&=&0\\
-12y-24z&=&0\\
\enar\right.\\
&\iff&
\la\begin{array}{rcl}
x&=&-z\\
y&=&-2z\\
z&=&z
\enar\right.\enar\]

Ainsi, $\ker(p)=\text{Vect}(u)$, où $u=(-1,-2,1)$. On en déduit (on sait déjà que $p$ est une projection) que $\text{Im}(p)$ est de dimension 2. Puis, puisque $p(e_1)$ et $p(e_2)$ sont indépendants, en posant $v=(5,-2,1)$ et $w=(-2,2,2)$, on en déduit que $\text{Im}(p)=\text{Vect}(v,w)$.

Pour démontrer que $p$ est une projection orthogonale, il reste à prouver que $\ker(p)\perp\textrm{Im}(p)$. Mais $u\perp v$ et $u\perp w$, donc on a bien $\text{vect}(u)\perp \text{vect}(v,w)$.
Puisque $u$ est un vecteur normal au plan $\textrm{Im}(p)$, une équation de ce plan est
\[-x-2y+z=0.\]

Enfin, la distance de $(1,1,1)$ au plan $\textrm{Im}(p)$ par:
\[d=\frac{|\langle u,(1,1,1)\rangle|}{\|u\|}=\frac{|-1-2+1|}{\sqrt 6}=\frac {2}{\sqrt 6}\]



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