@ccueil Colles

Matrice d'une projection orthogonale - Distance à un sous-espace


Soit $E=\R^4$ muni de son produit scalaire canonique et de la base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3,e_4)$.
On considère $G$ le sous-espace vectoriel défini par les équations
\[\la\begin{array}{rcl}
x_1+x_2&=&0\\
x_3+x_4&=&0.
\enar\right.\]

  1. Déterminer une base orthonormale de $G$.
  2. Déterminer la matrice dans $\mathcal{B}$ de la projection orthogonale $p_G$ sur $G$.
  3. Soit $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ un élément de $E$. Déterminer la distance de $x$ à $G$.

Correction
  1. On commence par trouver une base de $G$. Mais on a
    \[\la\begin{array}{rcl}
x_1+x_2&=&0\\
x_3+x_4&=&0\\
\enar\right.
\iff\la\begin{array}{rcl}
x_1&=&x_1\\
x_2&=&-x_1\\
x_3&=&x_3\\
x_4&=&-x_3.
\enar\right.\]

    On en déduit que $(e_1-e_2,e_3-e_4)$ est une base de $G$. Ces deux vecteurs sont déjà orthogonaux, il suffit de les normaliser. Si on pose $u_1=\frac1{\sqrt 2}(e_1-e_2)$, $u_2=\frac1{\sqrt 2}(e_3-e_4)$, alors $(u_1,u_2)$ est une base orthonormale de $G$.
  2. On calcule $p_G(e_i)$ par
    \[p_G(e_i)=\langle e_i,u_1\rangle u_1+\langle e_i,u_2\rangle u_2\]

    On en déduit que la matrice de $p_G$ dans la base canonique est
    \[\frac 12\lp\begin{array}{cccc}
1&-1&0&0\\
-1&1&0&0\\
0&0&1&-1\\
0&0&-1&1
\enar\rp\]


  3. On sait que $d(x,G)=\|x-p_G(x)\|$.
    Avec $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$, on a
    \[p_G(x)=\dfrac 12(x_1-x_2,-x_1+x_2,x_3-x_4,-x_3+x_4)\]

    et donc
    \[x-p_G(x)=\dfrac 12(x_1+x_2,x_1+x_2,x_3+x_4,x_3+x_4).\]

    Il vient
    \[d(x,G)^2=\dfrac 12\lp(x_1+x_2)^2+(x_3+x_4)^2\rp.\]



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