@ccueil Colles

Matrice diagonalisable ?


La matrice $A=\lp\begin{array}{ccc}
\pi&1&2\\
0&\pi&3\\
0&0&\pi
\end{array}\rp$ est-elle diagonalisable ?

Correction
Les valeurs propres de $A$ sont directement ses éléments diagonaux car elle est triangulaire supérieure. Ainsi, $A$ a une seule valeur propre: $\pi$.
Maintenant, si $A$ était diagonalisable, alors elle serait semblable à $\pi I_3$, c'est-à-dire qu'il existerait une matrice $P\in GL_3(\R)$ telle que
\[A=P(\pi I_3)P^{-1}\]

et donc, puisque $I_3$ commute avec toutes les matrices, on aurait
\[A=\pi I_3 PP^{-1}=\pi I_3\]

Ce n'est pas le cas, et on en déduit donc que $A$ n'est donc pas diagonalisable.

Cacher la correction


Tags:DiagonalisationMatrices

Autres sujets au hasard: Lancer de dés