@ccueil Colles

Matrice inversible ? diagonalisable ?


La matrice $A=\lp\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&2&1\\0&1&0\enar\rp$ est-elle inversible ? diagonalisable ?

Correction
$\det A=\left|\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&2&1\\0&1&0\enar\right|
=-1\not=0$ donc $A$ est inversible.
Le polynôme caractéristique de $A$ est:
\[\begin{array}{ll}
\chi_A(X)=\det\left( A-XI_3\right)
&=\left|\begin{array}{ccc} 1-X&0&1\\0&2-X&1\\0&1&-X\enar\right| \\
&=(1-X)\Bigl(-X(2-X)-1\Bigr)\\[.5em]
&=(1-X)\left( X^2-2X-1\right)
\enar\]

or le trinôme du second degré $X^2-2X-1$ admet pour discriminant $\delta=8>0$ et donc admet deux racines rélles distinctes. $A$ est donc diagonalisable.

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Tags:DiagonalisationMatrices

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