Min et max de deux lois exponentielles
Soit et deux variables aléatoires indépendantes suivant
une loi exponentielle
de paramètres respectifs et .
On pose .
- Pour tout réel , calculer . En déduire que suit une loi exponentielle de paramètre .
- Deux guichets sont ouverts à une banque. Le temps de service au premier guichet (resp. au deuxième) suit une loi exponentielle de moyenne 20 min (resp. 30 min). Deux clients rentrent simultanément, l'un choisit le guichet 1 et l'autre le guichet 2. En moyenne, après combien de temps sort le premier?
- En moyenne, après combien de temps sort le dernier.
Correction
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- On va commencer par calculer .
Si , alors
(car est à valeurs dans ).
Sinon, pour , on a
et de même,
est à valeurs positives, donc si . Si , alors
grâce à l'indépendance de et , et on reconnait la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre . - On cherche , avec et .
L'espérance de est donc
- On cherche l'espérance de , où
est la variable aléatoire définie cette fois par ,
On peut procéder comme à la question précédente en cherchant la fonction
de répartition de , ou remarquer que pour tout nombre et on a
soit ici
En prenant l'espérance, et par linéarité, on trouve
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Tag:Variables aléatoires continues
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