@ccueil Colles

Minimisation d'une intégrale


Calculer $\dsp\inf_{a,b\in\R}\int_0^1(x^2-ax-b)^2dx$.

Correction
Soit $E=\mathcal{C}([0,1])$ muni du produit scalaire $(f|g)=\dsp\int_0^1 f(t)g(t)dt$.
On a alors $\dsp\int_0^1 |x^2-ax-b|^2dx=\|x^2-(ax+b)\|^2$, et, avec $F=\text{Vect}(1,x)$,
\[\inf_{(a,b)\in\R^2}\int_0^1 |x^2-ax-b|^2dx=\inf_{f\in F}\|x^2-f\|^2.
=\inf_{f\in F}\|x^2-f\|=\|x^2-p(x^2)\|\]

$p(x^2)$ est la projection orthogonale de $x^2$ sur $F$. Il s'agit donc de calculer cette projection. Ceci peut se faire de deux façons. D'une part, on peut fabriquer une base orthonormale de $F$ par le procédé de Gram-Schmidt à partir de $1,x$ et on sait que
\[p(x^2)=(x^2|e_1)e_1+(x^2|e_2)e_2.\]



On peut aussi poser a priori $p(x^2)=ax+b$ et écrire que $x^2-(ax+b)\perp 1$, $x^2-(ax+b)\perp x$. On obtient le système :
\[\la\begin{array}{ccc}
\dsp\int_0^1 x^2-(ax+b)dx&=&0\\[.8em]
\dsp\int_0^1 x^3-(ax^2+bx)dx&=&0
\enar\right.\]

qui permet de calculer $a$ et $b$. Par l'une ou l'autre méthode, on trouve que $p\left( x^2\rp=x-1/6$ et donc que $\|x^2-p(x^2)\|=\dfrac1{\sqrt{180}}.$

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