@ccueil Colles

Minimisation, moindres carrés et équations normales


Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels avec $p\leq n$. On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique et on identifie $\R^n$ avec $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$. On considère une matrice $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ de rang $p$ et $B\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)$.
  1. Démontrer qu'il existe une unique matrice $X_0$ de $\mathcal{M}_{p,1}(\R)$ telle que
    \[\|AX_0-B\|=\inf\{\|AX-B\|;\ X\in\mathcal M_{p,1}(\R)\}.\]

  2. Montrer que $X_0$ est l'unique solution de $A^T AX=A^T B$.
  3. Application : déterminer
    \[\inf\{(x+y-1)^2+(x-y)^2+(2x+y+2)^2;\ (x,y)\in\R^2\}.\]


Correction


Tag:Espaces euclidiens

Autres sujets au hasard: Lancer de dés