Minimisation, moindres carrés et équations normales
Soit 
et 
deux entiers naturels avec 
.
On munit 
du produit scalaire canonique et on identifie 
avec 
.
On considère une matrice 
de rang 
et 
.
et deux entiers naturels avec .
On munit du produit scalaire canonique et on identifie avec .
On considère une matrice de rang et .
- Démontrer qu'il existe une unique matrice
de 
telle que
![\[\|AX_0-B\|=\inf\{\|AX-B\|;\ X\in\mathcal M_{p,1}(\R)\}.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/12.png)
- Montrer que
est l'unique solution de 
.
- Application : déterminer
![\[\inf\{(x+y-1)^2+(x-y)^2+(2x+y+2)^2;\ (x,y)\in\R^2\}.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/15.png)
Correction
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- Puisque
est de rang 
, l'application 
qui va de 
dans 
est injective.
Or,
est la distance
de 
à 
.
Cette distance est atteinte uniquement par le projeté orthogonal sur
(qui est de dimension finie) de 
.
Ce projeté orthogonal, unique, appartenant à 
,
s'écrit donc de façon unique 
.
- On a
![\[\begin{array}{lcl}
AX_0=p_{\textrm{Im}(A)}(B)&\iff&
\forall Z\in \textrm{Im}(A),\ AX_0-B\perp Z\\[.4em]
&\iff& \forall X\in \mathcal{M}_{p,1}(\R),\ AX_0-B\perp AX\\[.4em]
&\iff& \forall X\in \mathcal{M}_{p,1}(\R),\ (AX)^T (AX_0-B)=0\\[.4em]
&\iff& \forall X\in\mathcal{M}_{p,1}(\R),\ X^T (A^TAX_0-A^T B)=0\\[.4em]
&\iff &A^T AX_0=A^T B
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6_c/13.png)
est donc bien l'unique solution de 
.
- Posons
,
et
.
On vérifie que le rang de
est 
.
La borne inférieure est donc atteinte en 
solution de
.
Or
![\[A^T A=\lp\begin{array}{cc} 6&2\\ 2&3 \enar\rp,\ A^TB=\lp\begin{array}{c} -3\\-1\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6_c/22.png)
On vérifie que
et 
, et donc l'inf recherché vaut 
.
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Tag:Espaces euclidiens
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