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Minimum d'couple de variables géométriques


Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. On pose $Z=\min(X,Y)$ et $q=1-p$. Soit en outre $n$ un entier strictement positif.
  1. Calculer $P(X\geq n)$.
  2. Calculer $P(Z\geq n)$. En déduire $P(Z=n)$. Quelle est la loi de $Z$?
  3. Les variables $X$ et $Z$ sont-elles indépendantes?

Correction
  1. L'événement $X\geq n$ s'écrit comme réunion (dénombrable et disjointe) des événéments élémentaires $X=k$, $k\geq n$. On a donc
    \[P(X\geq n)=\sum_{k\geq n}P(X=k)=\sum_{k\geq n}q^{k-1}p
  =\dfrac{q^{n-1}p}{1-q}=q^{n-1}\]


  2. On a $Z\geq n$ si et seulement si $X\geq n$ et $Y\geq n$. Ces deux événements sont indépendants, et donc
    \[P(Z\geq n)=P(X\geq n)P(Y\geq n)=q^{2n-2}\]

    Or,
    \[P(Z=n)=P(Z\geq n)-P(Z\geq n+1)
  =q^{2n-2}-q^{2n}
  =q^{2n-2}(1-q^2)\]


    Ainsi, $Z$ suit une loi géométrique de paramètre $1-q^2$.
  3. Remarquons que les événements $(X=n)\cap (Z\geq n)$ et $(X=n)\cap (Z=n)$ sont égaux et égaux à $(X=n)\cap (Y\geq n)$. Si $X$ et $Z$ étaient indépendantes, alors on aurait
    $$P((X=n)\cap (Z\geq n))=P(X=n)P(Z\geq n)$$

    et
    $$P((X=n)\cap (Z=n))=P(X=n)P(Z=n).$$

    En particulier, on devrait avoir $P(Z=n)=P(Z\geq n)$, ce qui n'est pas le cas. $X$ et $Z$ ne sont pas des variables aléatoires indépendantes.


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Tag:Couples de variables aléatoires

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