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Minimum de la norme d'une somme


Soit $E=\R^n$ muni du produit scalaire canonique, et $x$, $y$ deux éléments de $E$. Montrer que $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si $\|x+\lambda y\|\geqslant\|x\|$ pour tout $\lambda\in\R$.

Correction
On a
\[\|x+\lambda y\|^2=\|x\|^2+2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\]

et donc
\[\begin{array}{ll}\|x+\lambda y\|\geq\|x\|&\iff\|x+\lambda y\|^2\geq \|x\|^2\\[.6em]
&\iff2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\geq 0\enar\]


Si $x$ est orthogonal à $y$, donc $\langle x,y\rangle=0$, alors l'inégalité précédente est bien vérifiée pour tout $\lambda\in\R$.

Réciproquement, si
\[P(\lambda)=2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\geq 0\]

pour tout réel $\lambda$, alors le discriminant du polynôme du second degré $P$ est négatif ou nul, soit
\[\Delta=4\langle x,y\rangle^2\leq 0\]

Ceci n'est possible que si $\langle x,y\rangle=0$, c'est-à-dire si $x$ et $y$ sont orthogonaux.

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