Nombre de racines d'un polynôme
Montrer que le polynôme
, avec
et
réels,
admet au plus trois racines réelles distinctes.



Correction
Supposons au contraire que
possède
au moins quatre racines réelles distinctes:
,
,
et
.
Le théorème de Rolle appliqué à
sur les intervalles
,
et
montre que
admet alors au moins
trois racines
,
et
, respectivement dans les intervalles
,
et
.
Ces intervalles sont disjoints et ces trois racines sont distinctes aussi.
On réitère alors le théorème de Rolle sur les deux intervalles
et
, pour obtenir deux racines
et
distinctes.
Or,
n'admet pas deux racines distinctes.
doit donc avoir au plus trois racines réelles distinctes.
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Supposons au contraire que





Le théorème de Rolle appliqué à

![$[x_1;x_2]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/7.png)
![$[x_2;x_3]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/8.png)
![$[x_3;x_4]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/9.png)




![$]x_1;x_2[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/14.png)
![$]x_2;x_3[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/15.png)
![$]x_3;x_4[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/16.png)
On réitère alors le théorème de Rolle sur les deux intervalles
![$[x_1';x_2']$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/17.png)
![$[x_2';x_3']$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/18.png)


Or,


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Tags:Rolle - AFPolynôme
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