Nombre de racines d'un polynôme

Montrer que le polynôme , avec et réels, admet au plus trois racines réelles distinctes.

Correction
Supposons au contraire que possède au moins quatre racines réelles distinctes: , , et .
Le théorème de Rolle appliqué à sur les intervalles , et montre que admet alors au moins trois racines , et , respectivement dans les intervalles , et . Ces intervalles sont disjoints et ces trois racines sont distinctes aussi.
On réitère alors le théorème de Rolle sur les deux intervalles et , pour obtenir deux racines et distinctes.
Or, n'admet pas deux racines distinctes. doit donc avoir au plus trois racines réelles distinctes.

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