Nombre de racines de la dérivée d'un polynôme
Soit
la fonction définie sur
par
.
Démontrer que l'équation
admet exactement
trois solutions réelles distinctes.



Démontrer que l'équation

Correction
admet 4 racines évidentes:
.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, appliqué trois fois respectivement sur
,
et
, on obtient trois racines de
,
distinctes car elles appartiennent à des intervalles disjoints
,
et
.
Enfin, comme
est un polynôme de degré 4,
est un polynôme de degré 3.
Ainsi
admet au plus trois racines.
D'après ce qui précède,
admet donc exactement trois racines réelles.
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Ainsi, d'après le théorème de Rolle, appliqué trois fois respectivement sur
![$[-2;-1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/3.png)
![$[-3;-2]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/4.png)
![$[-4;-3]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/5.png)

![$]-2;-1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/7.png)
![$]-3;-2[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/8.png)
![$]-4;-3[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/9.png)
Enfin, comme



D'après ce qui précède,

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Tags:DérivéeRolle - AF
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