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Parité des termes d'une suite et suite trigonométrique


  1. Montrer que, pour tout entier $n$, $\lp3+\sqrt5\rp^n+\lp3-\sqrt5\rp^n$ est un entier pair.
  2. En déduire que la suite $\left( u_n\rp$ définie par $u_n=\sin\lp\lp3+\sqrt5\rp^n\pi\rp$ converge et déterminer sa limite.

Correction
  1. À l'aide du binôme de Newton:
    \[\lp3+\sqrt5\rp^n+\lp3-\sqrt5\rp^n
  =\sum_{k=0}^n \Cnp{n}{k}\left( 3^k\sqrt5^{n-k}+3^k\left(-\sqrt{5}\rp^{n-k}\rp
  \]

    Lorsque, dans la somme, $n-k$ est impair, on a $\lp-\sqrt{5}\rp^{n-k}=-\lp\sqrt{5}\rp^{n-k}$ et le terme correspondant est nul, tandis que si $n-k$ est impair, on a $3^k\sqrt5^{n-k}+3^k\lp-\sqrt{5}\rp^{n-k}=2\tm3^k\sqrt5^{n-k}$.
    La somme est donc une somme de termes pairs et est donc paire.


    On peut aussi démontrer cette propriété par récurrence. On a, initialement,
    \[u_0=\lp3+\sqrt5\rp^0+\lp3-\sqrt5\rp^0=2\]

    et
    \[u_1=\lp3+\sqrt5\rp^1+\lp3-\sqrt5\rp^1=6\]

    et donc ces deux premiers termes sont bien des entiers pairs.

    L'hérédité est moins évidente. On doit faire intervenir l'expression de $u_n$ dans celle de $u_{n+1}$. On peut "forcer" un peu les choses:
    \[\begin{array}{lcl}u_{n+1}&=&\lp3+\sqrt5\rp^{n+1}+\lp3-\sqrt5\rp^{n+1}\\[.6em]
  &=&\Bigl[(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)\Bigr]\,\Bigl[(3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n\Bigr]\\ [.4em]
  &&-\Bigr[(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)^n\Bigr]\\[.5em]
  &=&6u_n-(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)\Bigl[(3-\sqrt5)^{n-1}+(3+\sqrt5)^{n-1}\Bigr]\\
  &=&6u_n-4u_{n-1}
  \enar\]

    Il s'agit donc d'une démonstration par récurrence "à deux rangs": initialement la propriété est vraie aux rangs $n=0$ et $n=1$, puis si on la suppose vraie aux rangs $n$ et $n+1$ quelconques, c'est-à-dire que si $u_n$ et $u_{n+1}$ sont des entiers pairs, alors le calcul précédent montre qu'au rang $n+2$
    \[u_{n+2}=2\lp3u_{n+1}-2u_n\rp\]

    et la propriété est ainsi encore vraie.

    Le principe de récurrence permet alors de conclure que la propriété est vraie pour tout entier $n$.


    Remarque: on peut utiliser également une récurrence "forte": pour l'hérédité, on suppose que la propriété est vraie pour tout entier $p\leqslant n$ et on montre alors qu'elle encore vraie au rang $n+1$.
  2. $u_n=\sin\lp\lp3+\sqrt5\rp^n\pi\rp
  =\sin\lp\lp3-\sqrt5\rp^n\pi\rp$.
    Or, $2<\sqrt5<3$, et donc $0<3-\sqrt5<1$, et alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp3-\sqrt5\rp^n=0$, et enfin, $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=0$.


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