@ccueil Colles

Parité des termes d'une suite et suite trigonométrique


  1. Montrer que, pour tout entier $n$, $\lp3+\sqrt5\rp^n+\lp3-\sqrt5\rp^n$ est un entier pair.
  2. En déduire que la suite $\left( u_n\rp$ définie par $u_n=\sin\lp\lp3+\sqrt5\rp^n\pi\rp$ converge et déterminer sa limite.

Correction
  1. À l'aide du binôme de Newton:
    \[\lp3+\sqrt5\rp^n+\lp3-\sqrt5\rp^n
  =\sum_{k=0}^n \Cnp{n}{k}\left( 3^k\sqrt5^{n-k}+3^k\left(-\sqrt{5}\rp^{n-k}\rp
  \]

    Lorsque, dans la somme, $n-k$ est impair, on a $\lp-\sqrt{5}\rp^{n-k}=-\lp\sqrt{5}\rp^{n-k}$ et le terme correspondant est nul, tandis que si $n-k$ est impair, on a $3^k\sqrt5^{n-k}+3^k\lp-\sqrt{5}\rp^{n-k}=2\tm3^k\sqrt5^{n-k}$.
    La somme est donc une somme de termes pairs et est donc paire.
  2. $u_n=\sin\lp\lp3+\sqrt5\rp^n\pi\rp
  =\sin\lp\lp3-\sqrt5\rp^n\pi\rp$.
    Or, $2<\sqrt5<3$, et donc $0<3-\sqrt5<1$, et alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp3-\sqrt5\rp^n=0$, et enfin, $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=0$.


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