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Plans dans l'espace


Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les plans $P$ d'équation $x-y+z=2$ et $P'$ d'équation $x+2y+3z=4$.
  1. Vérifier que $P$ et $P'$ ne sont pas parallèles, puis donner un système d'équations paramétriques de la droite $d$ d'intersection de $P$ et $P'$.
  2. Donner une équation du plan $P, perpendiculaire à $d$ et passant par le point $A$ de coordonnées $(1,0,-1)$.
  3. Donner les coordonnées du point $B$ commun à $P$, $P'$ et $P''$.

Correction
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère $P$ d'équation $x-y+z=2$ et $P'$ d'équation $x+2y+3z=4$.
  1. Un vecteur normal à $P$ est $\vec{n}(1;-1;1)$ et un vecteur normal à $P'$ est $\vec{n'}(1;2;3)$. Comme ces vecteurs ne sont pas colinéaires, $P$ et $P'$ ne sont pas parallèles.

    Un vecteur directeur de $d$ est alors $\vec{u}=\vec{n}\wedge\vec{n'}=(-5;-2;3)$ qui a donc une représentation paramétrique de la forme $\la\begin{array}{ll}
  x&=x_0-5t\\y&=y_0-2t\\z&=z_0+3t\enar\right.,t\in\R$, où $(x_0;y_0;z_0)$ sont les coordonnées d'un point quelconque de $d$, donc d'un point de $P$ et de $P'$:
    \[\la\begin{array}{l}
  (x_0-5t)-(y_0-2t)+(z_0+3t)=2 \\[.4em]
  (x_0-5t)+2(y_0-2t)+3(z_0+3t)=4 
  \enar\right.
  \iff
  \la\begin{array}{l}
  x_0-y_0+z_0=2 \\[.4em]
  x_0+2y_0+3z_0=4 
  \enar\right.\]

    Ce système est le système d'équations catésiennes de $d$, et il suffit ici de trouver un point, par exemple, $x_0=1$, $y_0=0$, $z_0=1$.
    On obtient donc la représentation paramétrique:
    \[d: \la\begin{array}{ll}
  x&=1-5t\\y&=-2t\\z&=1+3t\enar\right.,t\in\R\]

  2. Le vecteur $\vec{u}$ directeur de $d$ est donc normal au plan $P qui a donc une équation de la forme $-5x-2y+3z+k=0$.
    Comme $A(1,0,-1)\in P''$, on en déduit que $k=8$, et donc $P'': -5x-2y+3z+8=0$.
  3. $d=P\cap P'$ et $P''\perp d$, donc ces 3 plans sont concourants en un point $B\in d$.
    En utilisant la représentation paramétrique de $d$ et l'équation cartésienne de $P''$:
    \[-5(1-5t)-2(-2t)+3(1+3t)+8=0
  \iff 38t+6=0\iff t=-\dfrac{3}{19}\]

    d'où $x_B=1-5\tm\dfrac{-3}{19}=\dfrac{34}{19}$, $y_B=-2\dfrac{-3}{19}=\dfrac{6}{19}$ et $z_B=1+3\tm\dfrac{-3}{19}=\dfrac{10}{19}$.


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Tag:Géométrie dans l'espace

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