Probabilité d''une réunion d'événements indépendants

Soit événements d'un espace probabilisé $\lp\Omega,P\rp$ , , , …, . On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives . Donner une expression de $P\left( A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n\rp$ en fonction de , , …, .
Un avion quadrimoteur peut voler tant qu'au moins un de ses moteurs fonctionne. Chacun de ses moteurs peut tomber en panne, indépendamment les uns des autres, avec la probabilité .
Déterminer la probabilité que l'avion arrive à bon port.

Correction

Les événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants, et donc les événements complémentaires $\overline{A_1},\dots,\overline{A_n}$ le sont aussi. On a donc

$\begin{array}{ll} P\left( A_1\cup\dots\cup A_n\right) &=1-P\lp\,\overline{A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n}\,\rp\\[.8em] &=1-P\lp\overline{A_1}\cap\dots\cap \overline{A_n}\rp\\ &=1-\dsp\prod_{i=1}^n P(\overline{A_i})\\ &=1-\dsp\prod_{i=1}^n (1-p_i)\enar$
L'avion a quatre moteurs, et on note : "le moteur ne tombe pas en panne", et on a $P\left( A_i\rp=1-p$ .
L'avion peut continuer de voler avec la probabilité

$\begin{array}{ll}P\left( A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\right) &=1-\bigl(1-(1-p)\bigr)^4\\[.7em] &=1-p^4=1-10^{-8}\enar$

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