Produit scalaire avec des polynômes, base orthonormale et calcul de distance

Soient $E=\R_n[X]$ et $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts. On pose, pour $(P,Q)\in E^2$ ,

$\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k).$

Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur .
Déterminer une base orthonormée de .
Déterminer la distance de $Q\in E$ au sous-espace $H=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} P\in E;\ \dsp\sum_{k=0}^n P(a_k)=0\ra.$

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