@ccueil Colles

Produit scalaire avec des polynômes, base orthonormale et calcul de distance


Soient $E=\R_n[X]$ et $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts. On pose, pour $(P,Q)\in E^2$,
\[\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k).\]

  1. Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur $E$.
  2. Déterminer une base orthonormée de $E$.
  3. Déterminer la distance de $Q\in E$ au sous-espace $H=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} P\in E;\ \dsp\sum_{k=0}^n P(a_k)=0\ra.$

Correction


Tags:Espaces euclidiensPolynôme

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