Produit scalaire avec des polynômes, matrice de Gram, et base orthonormale
Pour
et
deux polynômes de
, on pose
![\[\left( P,Q\right) = P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex2/4.png)
Correction


![$E=\R_2[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex2/3.png)
![\[\left( P,Q\right) = P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex2/4.png)
- Vérifier qu'on définit ainsi un produit scalaire sur
.
- Pour des polynômes
,
, …
, on appelle matrice de Gram la matrice dont les coefficients sont
.
Donner la matrice de Gram associée à la base canonique de.
- On pose
,
.
Montrer queet
sont orthgonaux.
Donner alors une base orthonormale de.
Correction
Tags:Espaces euclidiensPolynômeMatrices
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