@ccueil Colles

Produit scalaire avec des polynômes, matrice de Gram, et base orthonormale


Pour $P$ et $Q$ deux polynômes de $E=\R_2[X]$, on pose
\[\left( P,Q\right) = P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)\]

  1. Vérifier qu'on définit ainsi un produit scalaire sur $E$.
  2. Pour des polynômes $P_1$, $P_2$, … $P_n$, on appelle matrice de Gram la matrice dont les coefficients sont $\left( P_i,P_j\rp$.
    Donner la matrice de Gram associée à la base canonique de $E$.
  3. On pose $R_1(X)=X(X-1)$, $R_2(X)=X(X-2)$.
    Montrer que $R_1$ et $R_2$ sont orthgonaux.
    Donner alors une base orthonormale de $E$.

Correction


Tags:Espaces euclidiensPolynômeMatrices

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