Produit scalaire avec des polynômes, matrice de Gram, et base orthonormale

Pour

deux polynômes de $E=\R_2[X]$ , on pose

$\left( P,Q\right) = P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)$

Vérifier qu'on définit ainsi un produit scalaire sur .
Pour des polynômes , , … , on appelle matrice de Gram la matrice dont les coefficients sont $\left( P_i,P_j\rp$ .
Donner la matrice de Gram associée à la base canonique de .
On pose , .
Montrer que et sont orthgonaux.
Donner alors une base orthonormale de .

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