Projecteur composé de projecteurs
Soit
et
deux endomorphismes d'un espace vectoriel
tels que
et
sont des projecteurs.
Montrer que
est aussi un projecteur.





Montrer que

Correction
Comme
et
sont des projecteurs,
on a
et
et alors
![\[\begin{array}{ll}
\left( p\circ q\circ p\rp^2
&=\left( p\circ q\circ p\rp\circ \left( p\circ q\circ p\rp\\[.7em]
&=p\circ q\circ p^2\circ q\circ p\\[.7em]
&=p\circ q\circ p\circ q\circ p\\[.7em]
&=\left( p\circ q\rp^2\circ p\\[.7em]
&=p\circ q\circ p
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1_c/5.png)
et donc
est bien un projecteur.
Cacher la correction
Comme




et alors
![\[\begin{array}{ll}
\left( p\circ q\circ p\rp^2
&=\left( p\circ q\circ p\rp\circ \left( p\circ q\circ p\rp\\[.7em]
&=p\circ q\circ p^2\circ q\circ p\\[.7em]
&=p\circ q\circ p\circ q\circ p\\[.7em]
&=\left( p\circ q\rp^2\circ p\\[.7em]
&=p\circ q\circ p
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1_c/5.png)
et donc

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Tags:ProjecteursApplications linéairesEspace vectoriel
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