Projecteur composé de projecteurs

Soit

deux endomorphismes d'un espace vectoriel

tels que

et $p\circ q$ sont des projecteurs.
Montrer que $p\circ q\circ p$ est aussi un projecteur.

Correction
Comme

et $p\circ q$ sont des projecteurs, on a $p^2=p\circ p=p$ et $\left( p\circ q\rp^2=p\circ q\circ p\circ q=p\circ q$
et alors

$\begin{array}{ll} \left( p\circ q\circ p\rp^2 &=\left( p\circ q\circ p\rp\circ \left( p\circ q\circ p\rp\\[.7em] &=p\circ q\circ p^2\circ q\circ p\\[.7em] &=p\circ q\circ p\circ q\circ p\\[.7em] &=\left( p\circ q\rp^2\circ p\\[.7em] &=p\circ q\circ p \enar$

et donc $p\circ q\circ p$ est bien un projecteur.

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Tags:Projecteurs Applications linéaires Espace vectoriel

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