@ccueil Colles

Projecteur somme de projecteurs, noyau et image


Soit $p$ et $q$ deux projecteurs d'un espace vectoriel $E$. Montrer que
\[\begin{array}{ll}\left( p + q \text{ projecteur}\right) &\iff \left( p\circ q=q\circ p=0\right)\\[.5em]
&\iff\Bigl(\text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)\text{ et }\text{Im}(q)\subset\text{Ker}(p)\Bigr)\enar\]



Dans le cas où $p+q$ est un projecteur, montrer que $\text{Ker}(p+q)=\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$ et que $\text{Im}(p+q)=\text{Im}(p)+\text{Im}(q)$.
Correction


Tags:ProjecteursApplications linéairesEspace vectoriel

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