Projecteur somme de projecteurs, noyau et image

Soit

deux projecteurs d'un espace vectoriel

. Montrer que

$\begin{array}{ll}\left( p + q \text{ projecteur}\right) &\iff \left( p\circ q=q\circ p=0\right)\\[.5em] &\iff\Bigl(\text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)\text{ et }\text{Im}(q)\subset\text{Ker}(p)\Bigr)\enar$

Dans le cas où

est un projecteur, montrer que $\text{Ker}(p+q)=\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$ et que $\text{Im}(p+q)=\text{Im}(p)+\text{Im}(q)$ .
Correction

Tags:Projecteurs Applications linéaires Espace vectoriel

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