Projecteur somme de projecteurs, noyau et image


Soit $p$ et $q$ deux projecteurs d'un espace vectoriel $E$. Montrer que

\[\begin{array}{ll}\left( p + q \text{ projecteur}\right) &\iff \left( p\circ q=q\circ p=0\right)\\[.5em] &\iff\Bigl(\text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)\text{ et }\text{Im}(q)\subset\text{Ker}(p)\Bigr)\enar\]
Dans le cas où $p+q$ est un projecteur, montrer que $\text{Ker}(p+q)=\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$ et que $\text{Im}(p+q)=\text{Im}(p)+\text{Im}(q)$.

Correction
$p+q$ est un projecteur lorsque $(p+q)^2=p+q$, or, en développant l'identité remarquable, et comme $p$ et $q$ sont des projecteurs, donc $p^2=p$ et $q^2=q$,
\[\begin{array}{ll}(p+q)^2&=(p+q)\circ(p+q)\\[.5em] &=p^2+q^2+p\circ q+q\circ p\\[.5em] &=p+q+p\circ q+q\circ p\enar\]

Ainsi, si $p\circ q=q\circ p=0$ on a bien que $p+q$ est un projecteur.

Réciproquement, si $p+q$ est un projecteur, alors on doit avoir $p\circ q+q\circ p=0$.
En appliquant $p$ à cette relation, et comme $p$ est un projecteur, on obtient
\[\begin{array}{ll} p\circ\left( p\circ q+q\circ p\right) &=p^2\circ q+p\circ q\circ p\\[.5em] &=p\circ q+p\circ q\circ p=0\enar\]

soit $p\circ q+p\circ q\circ p=0$,
tandis qu'en appliquant $q$ on obtient
\[\begin{array}{ll} q\circ\left( p\circ q+q\circ p\right) &=q\circ p\circ q+q^2\circ p\\[.5em] &=q\circ p\circ q+q\circ p=0\enar\]

soit $q\circ p\circ q\circ p=0$,
De ces deux derniers résultats, on déduit que

\[p\circ q\circ p=-p\circ q=-q\circ p$, et ainsi $p\circ q=q\circ p$. \medskip En r\'esum\'e, si $p+q$ est un projecteur, on a n\'ecessairement, $p\circ q+q\circ p=0 \iff p\circ q=-q\circ p$ et aussi $p\circ q=q\circ p$. Ceci implique que $p\circ q=q\circ p=0$. \medskip Enfin, $p\circ q=0 \iff \lp\forall x\in E, p(q(x))=0\rp\iff \text{Im}(q)\subset{Im}(q)$ et de m\^eme en inversant les r\^oles de $p$ et $q$, d'o\`u le r\'esultat \[\begin{array}{ll}\left( p + q \text{projecteur}\right) &\iff \left( p\circ q=q\circ p=0\right)\\[.5em] &\iff\left( \text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)\text{ et }\text{Im}(q)\subset\text{Ker}(p)\rp\enar\]




On suppose maintenant que $p+q$ est un projecteur, ou de manière maintenant équivalente $p\circ q=q\circ p=0$.
On a simplement, si $p(x)=q(x)=0$ alors $(p+q)(x)=0$, c'est-à-dire $\text{Ker}\cup\text{Ker}(q)\subset\text{Ker}(p+q)$.

Montrons l'inclusion inverse: soit $x\in E$ tel que $(p+q)(x)=0$.
On a alors, en appliquant $p$, $p^2(x)+p(q(x))=p(x)+p(q(x))=0$, or $p\circ q=0$, ce qui implique donc $p(x)=0\iff x\in\text{Ker}(p)$.
De même, en appliquant $q$ à $(p+q)(x)=0$, on obtient $q(x)=0\iff x\in\text{Ker}(q)$, et ainsi $x\in\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$, d'où l'inclusion $\text{Ker}(p+q)\subset\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$.

On a donc prouvé finalement que $\text{Ker}(p+q)=\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$.


De même pour les images: on a directement $\text{Im}(p+q)\subset\text{Im}(p)+\text{Im}(q)$.
Montrons l'inclusion inverse. Soit$y\in\text{Im}(p)+\text{Im}(q)\iff \exist\left( x_1,x_2\rp\inE^2, y=p\left( x_1\rp+q\left( x_2\rp$
En appliquant $p+q$ on obtient
\[\begin{array}{ll} (p+q)(y)&=p^2\left( x_1\rp+q\left( p\left( x_1\rp\rp +p\left( q\left( x_2\rp\rp+q^2\left( x_2\rp \\[.5em] &=p\left( x_1\rp+q\left( x_2\rp\\[.5em] &=y\enar\]

car $p^2=p$, $q^2=q$ et $p\circ q=q\circ p=0$.
et on a donc obtenu, pour $y\in\text{Im}(p)+\text{Im}(q)$, $y=(p+q)(y)$ donc $y\in\text{Im}(p+q)$ donc $\text{Im}(p)+\text{Im}(q)\subset\text{Im}(p+q)$.
Finalement, on a donc obtenu
\[\text{Im}(p)+\text{Im}(q)=\text{Im}(p+q)\]



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