@ccueil Colles

Projecteurs …


Soit $p$ et $q$ deux projecteurs d'un même espace vectoriel et vérifiant $\text{Im}(p)\subset \text{Ker}(q)$.
  1. Que peut-on dire de $q\circ p$ ?
  2. On note $r=p+q-p\circ q$. Montrer que $r$ est un projecteur.

Correction
  1. Pour un quelconque $x$, on a $y=q(x)\in\text{Im}(q)$ et donc, comme $\text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)$, on a $y\in\text{Ker}(q)$ et donc $q(y)=q(p(x))=0$.
    Ainsi, $q\circ p$ est l'application nulle.
  2. On a, en développant et en utilisant $p^2=$, $q^2=q$ et $q\circ p=0$,
    \[\begin{array}{lcl} r^2
  &=&\left( p+q-p\circ q\rp\circ\left( p+q-p\circ q\rp \\[.6em]
  &=&\phantom{+} p^2+p\circ q-p^2\circ q \\[.3em]
   && +q\circ p+q^2-q\circ p\circ q\\[.3em]
   && -p\circ q\circ p-p\circ q^2+ p\circ q\circ p\circ q\\[.7em]
  &=& p+p\circ q-p\circ q \\[.3em]
   && +0+q-0\\[.3em]
   && -0-p\circ q+ 0\\[.7em]
  &=&p+q-q\circ p = r
  \enar\]

    ce qui montre que $r$ est un projecteur.


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Tags:ProjecteursApplications linéairesEspace vectoriel

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