@ccueil Colles

Puissance n-ième d'une matrice 2x2 symétrique


Soit $a$ et $b$ deux réels et $A=\lp\begin{array}{cc}a&b\\b&a\enar\rp$. Calculer $A^n$ pour tout entier $n$.

Correction
On cherche à diagonaliser $A$. Son polynôme caractéristique est
\[\chi_A(X)=\det\left( A-XI_3\right)
=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&a-X\enar\right|
=(a-X)^2-b^2=(a-X+b)(a-X-b)\]

Ainsi $A$ est diagonalisable avec comme valeurs propres $\lambda_1=a+b$ et $\lambda_2=a-b$.
L'espace propre associé à $\lambda_1$ est engendré par $V_1\lp\begin{array}{c}x\\y\enar\rp$ avec $AV_1=(a+b)V_1\iff \la\begin{array}{l}by=bx\\bx=by\enar\right.$ Si $b\not=0$, sinon $A$ est déjà diagonale et $A^n=\lp\begin{array}{cc} a^n&0\\0&a^n\enar\rp$, on trouve donc $x=y$ et $V_1\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$.
De même, l'espace propre associé à $\lambda_2$ est engendré par $V_2$ avec $AV_2=(a-b)V_2\iff \la\begin{array}{l}by=-bx\\bx=-by\enar\right.$ et on trouve, toujours pour $b\not=0$, $x=-y$ et $V_2\lp\begin{array}{c}1\\-1\enar\rp$.

La matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres $\left( V_1;V_2\rp$ est $P=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$, et on a la relation $A=PDP^{-1}$, puis $A^n=PD^nP^{-1}$,
avec $D=\lp\begin{array}{cc}a+b&0\\0&a-b\enar\rp$, donc $D^n=\lp\begin{array}{cc}(a+b)^n&0\\0&(a-b)^n\enar\rp$,
et $P^{-1}=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$
d'où
\[A^n=PD^nP^{-1}
=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}(a+b)^n+(a-b)^n&(a+b)^n-(a-b)^n\\
(a+b)^n-(a-b)^n&(a+b)^n+(a-b)^n\enar\rp\]



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