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Racine cubique d'une matrice


Soit $A=\lp\begin{array}{cc}-5&3\\6&-2\enar\rp$. Montrer que $A$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres.
En déduire qu'il existe une matrice $B$ telle que $B^3=A$.

Correction
On commence par rechercher les valeurs propres pour diagonaliser cette matrice.

Avec le polynôme caractéristique:
$P_A(\lambda)=\det\left( \lambda I-A\right)
=\left|\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-6&\lambda+2\enar\right|
=(\lambda+5)(\lambda+2)-18$
1 et racine évidente, et on on a alors la factorisation
\[P_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+8)\]

qui montre que le polynôme cacactéristique admet deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, que $A$ est diagonalisable.

Il existe donc une matrice de passage inversible $P$ telle que $A=PDP^{-1}$, avec
\[D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp\]

On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
\[B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp\]

est bien telle que $B^3=D$.
Maintenant, la matrice $M$ définie par
\[M=PBP^{-1}\]

vérifie
\[M^3=PB^3P^{-1}=PDP^{-1}=A\]




Avec un calcul de rang: $\lambda$ est une valeur propre lorsque $r=\text{rg}\lp\lambda I-A\rp<2$, soit
\[r=\lp\lambda I-A\right)
=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-6&\lambda+2\enar\rp\]

soit, avec l'opération $L_2\leftarrow3L_2+(\lambda+2)L_1$,
\[r=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-18+(\lambda+2)(\lambda+5)&0\enar\rp\]

On cherche donc les racines du trinôme du second degré $P(\lambda)=(\lambda+5)(\lambda+2)-18$ qui sont 1 (évidente) et -8.
Ainsi, il y a deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, $A$ est diagonalisable.

Il existe donc une matrice de passage inversible $P$ telle que $A=PDP^{-1}$, avec
\[D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp\]

On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
\[B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp\]

est telle que $B^3=D$.
On a alors que la matrice $M$ définie par
\[M=PBP^{-1}\]

vérifie
\[M^3=PB^3P^{-1}=PDP^{-1}=A\]




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