Rang et diagonalisabilité d'une matrice nilpotente d'indice 2

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ une matrice non nulle et nilpotente d'indice 2, c'est-à-dire telle que

Donner une relation d'inclusion entre $\text{Ker}(A)$ et $\text{Im}(A)$ et en déduire que $\text{rg}(A)\leqslant\dfrac{n}2$ .
Quelles sont les valeurs propres de ? est-elle diagonalisable ?

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