@ccueil Colles

Rang et diagonalisabilité d'une matrice nilpotente d'indice 2


Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ une matrice non nulle et nilpotente d'indice 2, c'est-à-dire telle que $A^2=0$.
  1. Donner une relation d'inclusion entre $\text{Ker}(A)$ et $\text{Im}(A)$ et en déduire que $\text{rg}(A)\leqslant\dfrac{n}2$.
  2. Quelles sont les valeurs propres de $A$ ? $A$ est-elle diagonalisable ?

Correction
  1. Soit $y\in\text{Im}(A)$, alors il existe $x\in\R^n$ tel que $Ax=y$ et donc $A^2x=Ay=0$, d'où $y\in\text{Ker}(A)$.
    On vient ainsi de montrer que $\text{Im}(A)\subset\text{Ker}(A)$.

    On en déduit en particulier que $\text{dim}\lp\text{Im}(A)\rp=\text{rg}(A)
  \leqslant\text{dim}\lp\text{Ker}(A)\rp$. Le théorème du rang nous donne par ailleurs que $\text{rg}(A)+\text{dim}\lp\text{Ker}(A)\rp=n$
    et donc $n=\text{rg}(A)+\text{dim}\lp\text{Ker}(A)\right)
  \geqslant\text{rg}(A)+\text{rg}(A)=2\text{rg}(A)$. On en déduit donc que $\text{rg}(A)\leqslant\dfrac{n}2$.
  2. Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$. Il existe alors $x\in\R^n$, $x\not=0$, tel que $Ax=\lambda x$.
    On obtient alors que $A^2x=\lambda Ax=\lambda^2x$ et donc que $\lambda^2=0$, soit $\lambda=0$: la seule valeur propre possible pour $A$ est $0$.


    Si $A$ était diagonalisable, $A$ serait semblable à la matrice nulle (la matrice diagonale avec que des valeurs nulles dans la diagonale...), et donc serait nulle, ce qui n'est pas le cas.
    $A$ n'est donc as diagonalisable.


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Tags:DiagonalisationApplications linéaires

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