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Rayon de convergence


Étudier la convergence de la série $\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{n!}{n^n}z^n$.

Correction
Soit $a_n=\dfrac{n!}{n^n}z^n$, alors
\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=
\dfrac{(n+1)!\,z^{n1}}{(n+1)^{n+1}}
\tm\dfrac{n^n}{n!\,z^n}
=z\lp\dfrac{n}{n+1}\rp^n
=ze^{n\ln\lp\dfrac{n}{n+1}\right)}
=ze^{-n\ln\lp1+\dfrac1n\right)}\]

Or, pour $n\to+\infty$, $\dfrac1n\to0$, et, au 1er ordre, $-n\ln\lp1+\dfrac1n\rp=-n\lp\dfrac1n+o\lp\dfrac1n\rp\rp=-1+o(1)$.
Ainsi, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to ze^{-1}=\dfrac{z}{e}$ et la série est convergente pour $|z|<e$.

En d'autres termes, le rayon de convergence de cette série entière est $e$.

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Tag:Séries entières

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