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Rendez-vous à la même heure


Clément et Amélie se donnent rendez-vous devant une salle de concert entre 19h et 20h. Leurs instants d'arrivée après 19h sont indépendants et assimilés à une loi uniforme sur $[0,1]$. Chacun attend jusqu'à un quart d'heure que l'autre arrive, puis rentre dans la salle. Quelle est la probabilité qu'ils entrent ensemble dans la salle de concert?

Correction
On note $X$ la variable aléatoire "instant d'arrivée de Clément" et $Y$ la variable aléatoire "instant d'arrivée d'Amélie", on cherche la probabilité pour que $|X-Y|\leqslant1/4$.

Méthode graphique:
$(X,Y)$ suit une loi uniforme sur le carré $K=[0,1]\times[0,1]$. La probabilité recherchée est donc
\[P\lp\left|X-Y\right|\leqslant1/4\right)
=\dfrac{\textrm{aire}\lp\Bigl\{(x,y)\in K;\ |x-y|\leqslant1/4\Bigr\}\right)}{\text{aire}(K)}\]

On a $\left|x-y\right|\leqslant1/4\iff y-1/4\leqslant x\leqslant y+1/4$.
Ainsi,
  • pour $y<1/4$, on a donc $0\leqslant x\leqslant y+1/4$
  • pour $y>3/4$, on a donc $y-1/4\leqslant x\leqslant 1$
  • pour $1/4<y<3/4$, on a $y-1/4\leqslant x\leqslant y+1/4$.
On trace alors les droites limites $x=y-1/4$ et $x=y+1/4$, et le domaine concerné:
\[\psset{unit=4cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-.2,1.2)(-.2,1.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,.25)(0,0)(.25,0)(1,.75)(1,1)(.75,1)
\psline{->}(-.2,0)(1.2,0)
\psline{->}(0,-.2)(0,1.2)
\rput(1,-.1){1}
\rput(-.05,1){1}
\rput(-.05,.25){$\frac14$}
\rput(.25,-.1){$\frac14$}
\rput(-.05,-.1){0}
\psplot{0}{.75}{x .25 add}
\psplot{.25}{1}{x .25 sub}
\psline(1,0)(1,1)(0,1)
\rput(-.05,.75){$\frac34$}\psline[linestyle=dashed](0,.75)(1,.75)
\rput(.75,-.1){$\frac34$}\psline[linestyle=dashed](.75,0)(.75,1)
\end{pspicture}\]


 
L'aire du carré $K$ vaut 1.
L'aire de chaque triangle rectangle au dessous et au dessus du domaine est
\[\dfrac12\tm\dfrac34\tm\dfrac34=\dfrac9{32}\]

et alors, l'aire, et la probabilité, recherchées sont donc
\[p=1-2\tm\dfrac9{32}=\dfrac{14}{32}=\dfrac7{16}\]




Méthode analytique
On rappelle de plus que la densité d'une variable aléatoire uniforme sur $[0;1]$ est
\[f(x)=\la\begin{array}{ll}0 &\text{ si } x<0 \\
1 &\text{ si } 0<x<1\\
0 &\text{ si } x>1\enar\right.\]


De même que dans la méthode précédente, on cherche la probabilité de l'événement
\[\left|X-Y\right|<1/4\iff Y-1/4\leqslant X\leqslant Y+1/4\]

Ainsi,
  • pour $Y<1/4$, on a donc $0\leqslant Y\leqslant Y+1/4$
    et on a alors la probabilité
    \[P\lp0\leqslant X<Y+1/4\rp=\dsp\int_0^{Y+1/4}1\,dx=Y+1/4\]

    et donc la probabilité pour tous les $Y<1/4$:
    \[\begin{array}{ll}
  \dsp\int_0^{1/4}\left( y+1/4\rp\,dy
  &=\Bigl[\dfrac12y^2+\dfrac14y\Bigr]_0^{1/4}\\[1.1em]
  &\hspace{-3em}=\dfrac12\lp\dfrac14\rp^2+\dfrac14\tm\dfrac14=\dfrac3{32}
  \enar\]

  • pour $Y>3/4$, on a donc $Y-1/4\leqslant X\leqslant 1$
    et on a alors la probabilité
    \[P\left( Y-1/4\leqslant X<1\rp=\dsp\int_{Y-1/4}^11\,dx=1-\left( Y-1/4\rp=-Y+5/4\]

    et donc la probabilité pour tous les $Y>3/4$:
    \[\begin{array}{ll}
  \dsp\int_{3/4}^1\left( -y+5/4\rp\,dy
  &=\Bigl[-\dfrac12y^2+\dfrac54y\Bigr]_{3/4}^1\\[1.2em]
  &\hspace{-5em}=\lp-\dfrac12+\dfrac54\right)
  -\lp-\dfrac12\lp\dfrac34\rp^2+\dfrac54\tm\dfrac34\rp
  =\dfrac3{32}
  \enar\]


  • Enfin, pour $1/4<Y<3/4$, on a $Y-1/4\leqslant X\leqslant Y+1/4$.
    et on a la probabilité
    \[\int_{Y-1/4}{Y+1/4}1\,dx=\dfrac12\]

    et donc la probabilité pour tous les $1/4<Y<3/4$,
    \[\int_{1/4}^{3/4}\dfrac12\,dy=\dfrac14\]


Au total, la probabilité recherchée est
\[P\lp\left|X-Y\right|<1/4\right)
=\dfrac3{32}+\dfrac3{32}+\dfrac14=\dfrac{14}{32}=\dfrac7{16}\]



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Tag:Couples de variables aléatoires

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