Représentation paramétrique de droites et droite perpendiculaire à deux autres


Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$, on considère les droites
$D_1 \la\begin{array}{ll} x+z=2\\ y=-1 \enar\right.$ et $D_2 \la\begin{array}{ll} y-z+1=0\\ x+y=0 \enar\right.$
  1. Donner un système d'équations paramétriques des droites $D_1$ et $D_2$.
  2. Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $D$ perpendiculaire commune à $D_1$ et $D_2$.

Correction
  1. On prend par exemple $z=t$ comme paramètre, et alors pour $D_1$,
    \[\begin{array}{rl}D_1&\la\begin{array}{ll}x+t=2\\y=-1\\z=t\enar\right.,t\in\R\\[2em] \iff&\la\begin{array}{ll}x=2-t\\y=-1\\z=t\enar\right.,t\in\R\enar\]

    et de même pour $D_2$,
    \[\begin{array}{rl}D_2&\la\begin{array}{ll} y-t+1=0\\x+t=0\\z=t\enar\right.,t\in\R\\[2em] \iff&\la\begin{array}{ll} x=-t\\y=-1+t\\z=t\enar\right.,t\in\R\enar\]


  2. Un vecteur directeur $\vec{u}$ de $D$ vérifie $u=\vec{u_1}\wedge\vec{u_2}$ où $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont des vecteurs directeurs de $D_1$ et $D_2$.
    À l'aide des représentations paramétriques précédentes, on a $\vec{u_1}\lp-1;0;1\rp$ et $\vec{u_2}\lp-1;1;1\rp$ et donc $\vec{u}\lp-1;0;-1\rp$.

    Il suffit maintenant de trouver un point $A(a;b;c)$ de $D$ et la représentation paramétrique de $D$:
    \[\la\begin{array}{ll}x=a-t\\y=b\\z=c-t\enar\right.,t\in\R\]


    Comme $D\perp D_1$, $D$ et $D_1$ sont sécantes en $M(x;y;z)$: il existe des réels $t_1$ et $t_2$ tels que
    \[\la\begin{array}{lclcl} x&=&2-t_1&=&a-t_2\\y&=&-1&=&b\\z&=&t_1&=&c-t_2\enar\right.\]

    et de même $D$ et $D_2$ sont sécantes en $M'\left( x';y';z'\rp$: il existe des réels $t_3$ et $t_4$ tels que
    \[\la\begin{array}{lclcl} x'&=&-t_3&=&a-t_4\\y'&=&-1+t_3&=&b\\z'&=&t_3&=&c-t_4\enar\right.\]

    On a donc $-1=b=-1+t_3$ soit $b=-1$ et $t_3=0$.
    Comme $t_3=0$, on a aussi $x'=-t_3=a-t_4=0$ donc $a=t_4$ et $z'=t_3=c-t_4=0$ donc $a=c=t_4$.

    Il nous reste maintenant 2 équations à exploiter:
    \[\la\begin{array}{lclcl} x&=&2-t_1&=&a-t_2\\z&=&t_1&=&c-t_2\enar\right.\]

    soit
    \[\la\begin{array}{ll} 2-t_1=a-t_2\\t_1=a-t_2\enar\right. \iff\la\begin{array}{ll} -t_1+t_2=a-2\\t_1+t_2=a\enar\right.\]

    Le déterminant de ce système est non nul, et donc pour tout $a$ on trouve une unique solution pour $t_1$ et $t_2$.

    Ainsi, tout point $A(a;-1;a)$, pour tout réel $a$ convient, par exemple $A(1;-1;1)$ et alors
    \[\la\begin{array}{ll}x=1-t\\y=-1\\z=1-t\enar\right.,t\in\R\]

    est une représentation paramétrique de $D$.



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Tag:Géométrie dans l'espace

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